고유값(eigenvalue)과 고유벡터(eigenvector)란?

고유값(Eigenvalue)과 고유벡터(Eigenvector)의 개념

고유값과 고유벡터는 선형대수학에서 중요한 개념으로, 특히 행렬과 관련이 깊습니다. 간단히 말해, 어떤 정사각 행렬 A가 있을 때, 이 행렬이 특정 벡터에 곱해질 때 그 벡터의 방향은 변하지 않고 크기만 변합니다. 이때, 벡터의 크기를 변하게 하는 값을 고유값이라고 하고, 그 벡터를 고유벡터라고 합니다.

공식적으로는, 벡터 v가 행렬 A에 의해 변환될 때, 변환된 벡터가 원래 벡터 v와 같은 방향을 유지하면서 크기만 변한다면, 이 벡터 v를 고유벡터라고 하고, 이 크기의 변환 비율을 고유값이라고 합니다.

이를 수식으로 표현하면, Av = λv로 나타낼 수 있습니다.

여기서:

• A는 행렬 (n x n 정사각 행렬)
• v는 고유벡터 (n x 1 벡터)
• λ는 고유값 (스칼라)

고유값과 고유벡터의 예시

만약 A가 2x2 행렬이라면, 다음과 같은 예를 들 수 있습니다:

A = (4, 1; 2, 3)와 같은 행렬이 있을 때, 이 행렬의 고유값과 고유벡터를 구하려면, 특성 방정식을 사용해야 합니다.

특성 방정식은 det(A - λI) = 0입니다.

여기서 I는 단위 행렬(identity matrix)이고, det는 행렬식(determinant)을 의미합니다. 이 방정식을 풀면 고유값 λ를 구할 수 있으며, 그 후에 이 값을 사용하여 대응되는 고유벡터 v를 구할 수 있습니다.

데이터 분석에서 고유값과 고유벡터의 중요성

고유값과 고유벡터는 데이터 분석, 특히 차원 축소, 데이터 압축, 그리고 데이터의 주요 구조 파악에 매우 중요합니다. 다음은 이들이 구체적으로 어떻게 사용되는지에 대한 예입니다:

1. 주성분 분석(PCA, Principal Component Analysis)

PCA는 고차원 데이터를 분석할 때 가장 널리 사용되는 기법 중 하나입니다. PCA는 데이터의 분산을 최대화하는 방향으로 새로운 축(주성분)을 찾는 기법인데, 이 과정에서 고유값과 고유벡터가 핵심 역할을 합니다.

• 고유벡터: 데이터의 공분산 행렬의 고유벡터들은 새로운 좌표 축을 형성합니다. 이 축들은 데이터의 최대 분산 방향을 나타냅니다.
• 고유값: 고유값은 각 고유벡터에 대응하는 축에서의 데이터 분산 정도를 나타냅니다. 큰 고유값에 해당하는 고유벡터는 더 중요한 정보를 담고 있으며, PCA에서는 이러한 고유벡터를 사용해 차원을 축소합니다.

PCA의 과정을 정리하면, 공분산 행렬을 구하고, 이 행렬의 고유값과 고유벡터를 계산한 후, 가장 큰 고유값에 대응하는 고유벡터를 선택하여 데이터를 재구성하게 됩니다.